Geometric analysis of the condition of the convex feasibility problem

The focus of this paper is the homogeneous convex feasibility problem, which is the following question: Given an m-dimensional subspace of R, does this subspace intersect a fixed convex cone solely in the origin or are there further intersection points? This problem includes as special cases the linear, the second order, and the semidefinite feasibility problems, where one simply chooses the positive orthant, a product of Lorentz cones, or the cone of positive semidefinite matrices, respectively. An important role for the running time of algorithms solving the convex feasibility problem is played by Renegar’s condition number. The (inverse of the) condition of an input is basically the magnitude of the smallest perturbation, which changes the status of the input, i.e., which makes a feasible input infeasible, or the other way round. We will give an average analysis of this condition for several classes of convex cones, and one that is independent of the underlying convex cone. We will also describe a way of deriving smoothed analyses from our approach. We will achieve these results by adopting a purely geometric viewpoint leading to computations in the Grassmann manifold. Besides these main results about the random behavior of the condition of the convex feasibility problem, we will obtain a couple of byproduct results in the domain of spherical convex geometry. Kurzbeschreibung Den Mittelpunkt dieser Arbeit bildet das homogene konvexe Lösbarkeitsproblem, welches die folgende Frage ist: Gegeben sei ein m-dimensionaler Unterraum des R; schneidet dieser Unterraum einen gegebenen konvexen Kegel nur im Ursprung, oder gibt es weitere Schnittpunkte? Dieses Problem umfasst als Spezialfälle das lineare, das quadratische, und das semidefinite Lösbarkeitsproblem, wobei man als konvexen Kegel den positiven Orthanten, ein Produkt von Lorentzkegeln, bzw. den Kegel der positiv semidefiniten Matrizen wählt. Für die Laufzeit von Algorithmen, welche das konvexe Lösbarkeitsproblem lösen, spielt die Renegarsche Konditionszahl eine wichtige Rolle. Die Kondition einer Eingabe, bzw. ihr Inverses, ist gegeben durch die Größe einer kleinsten Störung, welche den Status der Eingabe von ‘feasible’ zu ‘infeasible’ bzw. von ‘infeasible’ zu ‘feasible’ ändert. Wir werden eine Durchschnittsanalyse dieser Kondition für verschiedene Klassen von konvexen Kegeln angeben, sowie eine, welche unabhängig ist von der Wahl des zugrunde gelegten konvexen Kegels. Wir werden desweiteren einen Weg beschreiben, auf dem auch geglättete Analysen mittels unseres Ansatzes erzielt werden können. Wir erreichen diese Ergebnisse mit Hilfe einer rein geometrischen Sichtweise, welche zu Berechnungen in der Grassmann-Mannigfaltigkeit führt. Neben diesen Hauptergebnissen über das zufällige Verhalten der Kondition des konvexen Lösbarkeitsproblems werden wir auch einige Nebenergebnisse im Bereich der sphärischen Konvexgeometrie erzielen.